Care este puterea numărului

• Motive

Rețineți că această secțiune se referă la conceptul de grad doar cu un indicator natural și zero.

Conceptul și proprietățile de grade cu exponenți raționali (cu negativ și fracțional) vor fi discutate în lecțiile pentru gradul 8.

Deci, să înțelegem ce este puterea numărului. Pentru a înregistra produsul numelui în sine de mai multe ori, utilizați notația abreviată.

În loc de produsul a șase factori identici 4,4,4,4,4,4,4, ei scriu 46 și spun "patru la gradul al șaselea".

4,4,4,4,4,4,4,6,6

Expresia 4 6 se numește puterea numărului, unde:

• 4 - baza gradului;
• 6 - exponent.

În general, gradul cu baza "a" și indexul "n" este scris folosind expresia:

Gradul de "a" cu indicele natural "n", mai mare de 1, este produsul factorilor "n" egali, fiecare fiind egal cu numărul "a".

Notația "a n" se citește astfel: "ci la puterea lui n" sau "puterea n-a a numărului a".

Excepțiile sunt înregistrări:

• a 2 - poate fi pronunțat ca "un pătrat";
• a 3 - se poate pronunța ca "dar într-un cub".

Desigur, expresiile de mai sus pot fi citite pentru a determina gradul:

• a 2 - "și în al doilea grad";
• un 3 - "și în al treilea grad."

Cazurile speciale apar atunci când exponentul este unul sau zero (n = 1; n = 0).

Gradul numărului "a" cu indexul n = 1 este numărul în sine:
a 1 = a

Orice număr în gradul zero este unul.
a 0 = 1

Zero în orice natură este zero.
0 n = 0

Unitatea în orice grad este egală cu 1.
1 n = 1

Expresia 0 0 (zero până la zero) este considerată lipsită de sens.

Atunci când rezolvăm exemple, trebuie să ne amintim că ridicarea la o putere este numită găsirea unei valori numerice sau alfabetice după ridicarea ei la putere.

Un exemplu. Ridicați la grad.

• 5 3 = 5,5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5; 2,5 = 6,25
• (

Creșterea unui număr negativ

Baza gradului (un număr care este crescută la o putere) poate fi orice număr - pozitiv, negativ sau zero.

Când se ridică la o putere de un număr pozitiv, se obține un număr pozitiv.

Atunci când se construiește un grad natural zero, se obține un zero.

Când se ridică un număr negativ la o putere, rezultatul poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ. Depinde dacă exponentul este ciudat sau ciudat.

Luați în considerare exemple de a ridica la puterea de numere negative.

Din exemplele considerate este clar că dacă un număr negativ este ridicat la un grad impar, atunci se obține un număr negativ. Deoarece produsul unui număr impar de factori negativi este negativ.

Dacă un număr negativ este ridicat la o putere uniformă, atunci se obține un număr pozitiv. Deoarece produsul unui număr par de factori negativi este pozitiv.

Un număr negativ ridicat la o putere uniformă este un număr pozitiv.

Un număr negativ ridicat la o putere ciudată este un număr negativ.

Pătratul oricărui număr este un număr pozitiv sau zero, adică:

a 2 ≥ 0 pentru orice a.

• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 · (-2) 3 = -5 · (-8) = 40

Fiți atenți!

Atunci când rezolvăm exemple de exponentiere, ele fac adesea greșeli, uitând că intrările (-5) 4 și -5 4 sunt expresii diferite. Rezultatele exponentierii acestor expresii vor fi diferite.

Pentru a calcula (-5) 4 înseamnă a găsi valoarea celei de a patra puteri a unui număr negativ.

În timp ce găsim "-5 4" înseamnă că exemplul trebuie rezolvat în 2 pași:

1. Ridicați la a patra putere un număr pozitiv 5.
   5 = 5,5,5,5 = 625
2. Puneți semnul minus în fața rezultatului (adică efectuați acțiunea de scădere).
   -5 4 = -625

Un exemplu. Calculați: -6 2 - (-1) 4

1. 6 2 = 6,6 = 36
2. -6 2 = -36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. - (- 1) 4 = -1
5. -36 - 1 = -37

Procedura din exemple cu grade

Calculul valorii se numește acțiune de exponentiere. Aceasta este acțiunea celui de-al treilea pas.

În expresii cu puteri care nu conțin paranteze, ele execută mai întâi o putere, apoi se înmulțește și se împarte, iar la sfârșit se adaugă și se scade.

Dacă există expresii în paranteze, mai întâi în ordinea de mai sus, efectuați acțiunile în paranteze, apoi acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.

Pentru a facilita rezolvarea exemplelor, este util să cunoașteți și să utilizați tabelul de grade, pe care îl puteți descărca gratuit pe site-ul nostru.

Pentru a vă verifica rezultatele, puteți utiliza pe site-ul nostru calculatorul de gradare online.

Gradul numărului: definiții, desemnări, exemple.

În acest articol, vom înțelege care este gradul numărului. Aici vom da definiții privind gradul unui număr, cu o privire detaliată asupra tuturor indicatorilor posibili ai gradului, începând cu indicatorul natural și încheind cu iraționalul. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade care acoperă toate subtilitățile care apar.

Navigați pe pagină.

Grad cu indicator natural, pătrat de număr, cub de număr

În primul rând, vom da o definiție a gradului unui număr cu un indice natural. Privind înainte, spunem că definiția gradului a cu un indice natural n este dată pentru un număr real a, pe care o vom numi baza gradului și un număr natural n, pe care îl vom numi exponent. De asemenea, observăm că gradul cu indicele natural este determinat prin produs, astfel încât, pentru a înțelege materialul de mai jos, trebuie să aveți o idee despre multiplicarea numerelor.

Gradul a cu un indice natural n este o expresie a formei a n, a cărei valoare este egală cu produsul n factorilor, fiecare fiind egal cu a, adică.
În special, gradul a cu indicele 1 este numărul a însăși, adică a 1 = a.

Din această definiție este clar că, cu ajutorul unei diplome cu un indice natural, se pot nota lucrările mai multor factori identici. De exemplu, 8 · 8 · 8 · 8 poate fi scris ca un grad 8 4. Acest lucru este similar cu modul în care este înscrisă o sumă a termenilor identici folosind o lucrare, de exemplu 8 + 8 + 8 + 8 = 8,4 (a se vedea articolul general despre multiplicarea numerelor naturale).

Trebuie spus imediat despre regulile gradelor de lectură. Modul universal de citire a unei înregistrări este: "a la puterea lui n". În unele cazuri, asemenea variante sunt, de asemenea, admisibile: "a la gradul n-a" și "n-aa puterii numărului a". De exemplu, luați gradul 8 12, acesta este "opt până la puterea a doisprezece" sau "opt până la a douăsprezecea putere" sau "a douăsprezecea putere a opt".

Al doilea grad al numărului, precum și al treilea grad al numărului au propriile lor nume. A doua putere a numărului este numită pătratul numărului, de exemplu 7 2 citește "șapte pătrat" ​​sau "pătrat al numărului șapte". A treia putere a unui număr este numită cub de un număr, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca "cinci într-un cub" sau poate spune "un cub cu numărul 5".

Este timpul să dați exemple de grade cu indicatori naturali. Să începem cu gradul 5 7, aici 5 este baza gradului, iar 7 este exponentul. Să ne dăm un alt exemplu: fracțiunea zecimal de 4.32 este baza, iar întregul pozitiv 9 este un exponent (4.32) 9.

Rețineți că în ultimul exemplu, baza gradului 4.32 este scrisă în paranteze: pentru a evita discrepanțele, vom lua toate bazele gradului în paranteze care sunt diferite de numerele naturale. De exemplu, dăm următoarele grade cu indicatori naturali, bazele lor nu sunt numere naturale, așa că sunt scrise în paranteze. Pentru o claritate completă în acest moment, vom arăta diferența conținută în înregistrările formularului (-2) 3 și -2 3. Expresia (-2) 3 este gradul numărului negativ -2 cu indicele natural 3, iar expresia -2 3 (se poate scrie ca - (2 3)) corespunde numărului opus valorii gradului 2 3.

Rețineți că există o notație pentru gradul a cu indexul n al formulei a ^ n. Mai mult, dacă n este un întreg pozitiv multivolit, atunci exponentul este luat în paranteze. De exemplu, 4 ^ 9 este o altă intrare a gradului 4 9. Iată câteva exemple de grade de înregistrare utilizând simbolul "^": 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). În cele ce urmează, vom folosi în principal notația pentru gradul de formă a n.

Definiția de mai sus permite găsirea valorii gradului cu un indicator natural. Pentru a face acest lucru, calculați produsul n egali cu factori egali cu a. Acest subiect merită examinat în detaliu într-un articol separat - a se vedea exponentierea cu un indicator natural.

Una dintre sarcinile, inversul construcției cu un indicator natural, este problema găsirii bazei unui grad printr-o valoare cunoscută a gradului și a unui indicator cunoscut. Această sarcină conduce la conceptul de rădăcină dintr-un număr.

De asemenea, merită explorate proprietățile unei grade cu un indice natural, care rezultă din această definiție a gradului și a proprietăților multiplicării.

Grad cu număr întreg

După ce am determinat gradul unui indice natural, o dorință logică apare pentru a extinde noțiunea de grad și a trece la gradul unui număr, din care orice număr întreg, inclusiv negativ și zero, va fi un indicator. Acest lucru ar trebui făcut în așa fel încât toate proprietățile unui grad cu un indice natural să rămână valabile, deoarece numerele naturale fac parte din numere întregi.

Gradul a cu un număr întreg pozitiv nu este altceva decât puterea lui a cu un exponent natural :, unde n este un întreg pozitiv.

Acum definim puterea zero a lui a. Să trecem din proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze: pentru numerele naturale m și n, m m: a n = a m - n (condiția a ≠ 0 este necesară, pentru că în caz contrar ar fi divizată la zero). Pentru m = n, egalitatea scrisă conduce la următorul rezultat: a n: a n = a n - n = a 0. Dar, pe de altă parte, un n: a n = 1 ca un coeficient de numere egale a n și a n. Prin urmare, trebuie să acceptăm un 0 = 1 pentru orice număr real nonzero a.

Dar ce zici de zero la zero? Abordarea utilizată în paragraful anterior nu este adecvată pentru acest caz. Putem reaminti proprietatea produsului de grade cu aceleași baze a m · a n = a m + n, în particular, atunci când n = 0, avem un m · a 0 = a m (această egalitate arată de asemenea că 0 = 1). Cu toate acestea, pentru a = 0 obținem egalitatea 0 m · 0 0 = 0 m, care poate fi rescrisă ca 0 = 0, este valabilă pentru orice m natural, indiferent de valoarea expresiei 0 0 egală cu. Cu alte cuvinte, 0 0 poate fi egal cu orice număr. Pentru a evita această ambiguitate, nu vom aloca zero puterii zero nici unui sens (din aceleași motive, atunci când am studiat divizarea, nu am dat nici o semnificație expresiei 0: 0).

Este ușor de verificat dacă egalitatea noastră 0 = 1 pentru numerele nonzero a este în concordanță cu proprietatea gradului până la grad (a m) n = a m · n. Într-adevăr, pentru n = 0, avem (a m) 0 = 1 și un m · 0 = a 0 = 1, iar pentru m = 0 avem (a 0) n = 1 n = 1 și 0 n = a 0 =

Așa că am ajuns la definiția unei diplome cu un indicator zero. Gradul a cu exponent zero (un număr real diferit de zero) este unul, adică un 0 = 1 pentru un ≠ 0.

Să dăm exemple: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 și 0 0 nu este definită.

Gradul zero al numărului a este determinat, rămâne să se determine gradul negativ întreg al numărului a. Acest lucru ne va ajuta la aceeași proprietate a produsului de grade cu aceleași baze a m · a n = a m + n. Luăm m = -n, care necesită condiția a ≠ 0, apoi a -n · a n = a -n + n = a 0 = 1, de unde constatăm că un n și un -n sunt numere inverse reciproce. Astfel, este logic să definim numărul a la gradul negativ întreg-n ca fracțiune. Este ușor de verificat faptul că, cu o astfel de sarcină, gradul de număr nenulos a cu un număr întreg negativ rămâne valabil toate proprietățile unei grade cu un indice natural (a se vedea proprietățile unui grad cu un indice întreg), ceea ce am vrut

Să sunăm definiția unei diplome cu un indice negativ întreg. Gradul a cu un număr întreg negativ -n (un număr real diferit de zero) este o fracțiune, adică cu un ≠ 0 și un întreg pozitiv n.

Luați în considerare această definiție a unui grad cu un număr întreg negativ pe exemple specifice :.

Rezumați informațiile din acest articol.

Gradul a cu un număr întreg z este definit ca:

Grad cu un indicator rațional

De la exponenții întregi ai numărului a, se sugerează trecerea la un indicator rațional. Mai jos definim o diplomă cu un indicator rațional și o vom face în așa fel încât să se păstreze toate proprietățile gradului cu întregul indicator. Acest lucru este necesar deoarece numerele întregi fac parte din numerele raționale.

Se știe că setul de numere raționale este format din numere întregi și fracționate, iar fiecare număr fracțional poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită pozitivă sau negativă. Am definit gradul cu exponent întreg în paragraful precedent, prin urmare, pentru a finaliza definiția exponentului cu exponent rațional, trebuie să dăm semnificație gradului a cu exponent fracțional m / n, unde m este un întreg și n este natural. Să o facem.

Luați în considerare un grad cu un exponent fracțional. Pentru ca valabilitatea unui grad să fie valabilă, egalitatea trebuie să fie îndeplinită. Dacă luăm în considerare egalitatea obținută și modul în care am determinat rădăcina gradului n, atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.

Este ușor de verificat dacă toate proprietățile unei grade cu un indicator întreg sunt valide (aceasta se face în secțiunea privind proprietățile unui grad cu un indicator rațional).

Argumentarea de mai sus ne permite să facem următoarea concluzie: dacă, pentru m, n și a, expresia are sens, atunci gradul a cu un indice fracțional m / n este rădăcina celui de-al n-lea grad de la a la gradul m.

Această afirmație ne apropie îndeaproape de definirea unei diplome cu un exponent fracțional. Rămâne doar să scriem, pentru care m, n și a face o expresie sensibilă. În funcție de constrângerile impuse asupra m, n și a, există două abordări de bază.

Este mai ușor să impunem o restricție asupra unui, luând a≥0 pentru pozitiv m și a> 0 pentru m negativ (deoarece pentru m≤0, gradul 0 m nu este definit). Atunci obținem următoarea definiție a unei grade cu un exponent fracțional.

Gradul unui număr pozitiv a cu un indice fracțional m / n, unde m este un număr întreg și n este un număr întreg pozitiv, se numește rădăcina n-a a la puterea lui m, adică.

Gradul fracțional de zero este de asemenea determinat cu singura rezervă că indicatorul ar trebui să fie pozitiv.

Gradul zero cu un indice pozitiv fracțional m / n, unde m este un număr întreg pozitiv și n este un număr întreg pozitiv, este definit ca.
Atunci când gradul nu este determinat, adică gradul numărului zero cu un indicator negativ fracțional nu are sens.

Trebuie remarcat faptul că, cu o astfel de definiție a unui grad cu un exponent fracțional, există o nuanță: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am renunțat la aceste cazuri introducând condiția a≥0. De exemplu, este logic să scrieți sau, și definiția dată mai sus ne face să spunem că gradele cu un indice fracționat al unei specii nu au sens, deoarece baza nu ar trebui să fie negativă.

O altă abordare pentru a determina o gradare cu un m / n fracțional este să ia în considerare separat indicele rădăcină parțială și parțială. Această abordare necesită o condiție suplimentară: gradul numărului a, al cărui indicator este o fracție redusă, este considerat gradul numărului a, al cărui indicator este fracțiunea ireductibilă corespunzătoare (vom explica importanța acestei condiții chiar mai jos). Aceasta este, dacă m / n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k, gradul este înlocuit cu.

Pentru m și m pozitiv, expresia are sens pentru orice non-negative a (rădăcina uniformă a unui număr negativ nu are sens), pentru m negativ, numărul a trebuie să fie, de asemenea, diferit de zero. Pentru m impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este determinată pentru orice număr real), iar pentru m negativ, numărul a trebuie să fie nenulos (astfel încât să nu existe nicio divizare cu zero).

Argumentarea de mai sus ne conduce la o astfel de definire a unei grade cu un exponent fracțional.

Fie ca m / n să fie o fracție ireductibilă, m să fie un număr întreg și n să fie un număr întreg pozitiv. Pentru orice fracțiune redusă, gradul este înlocuit cu. Gradul a cu exponentul fracțional ireductibil m / n este pentru

• orice număr real a, un număr întreg pozitiv m și un număr întreg ciudat n, de exemplu;
• orice număr real non-zero a, un întreg negativ m, și un n impar, de exemplu;
• orice număr non-negativ a, întreg pozitiv m și chiar n, de exemplu;
• orice pozitiv a, întregul negativ m și chiar n, de exemplu;
• în alte cazuri, gradul cu exponent fracțional nu este definit, de exemplu, gradele nu sunt definite.

Explicăm de ce o diplomă cu un exponent fractional anulat este înlocuită preliminar de un exponent cu un exponent ireductibil. Dacă am definit pur și simplu gradul și nu am făcut nicio rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m / n, atunci ne-am confruntat cu situații precum: 6/10 = 3/5, atunci egalitatea trebuie să dețină, dar a.

Rețineți că prima definiție a unui grad cu un indice fractional este mai ușor de utilizat decât cea de-a doua. Prin urmare, îl vom folosi în viitor.

gradul unui număr pozitiv a cu un indice fracțional m / n definim ca, pentru înregistrările negative a nu atribui nici un sens, gradul de zero este determinat pentru indicatorii fracționali pozitivi m / n, deoarece pentru indicatorii fracționali negativi gradul de număr zero nu este determinat.

În concluzia acestui paragraf, atragem atenția asupra faptului că exponentul fracțional poate fi scris, de exemplu, sub forma unei fracții zecimale sau a unui număr mixt. Pentru a calcula valorile expresiilor de acest tip, trebuie să scrieți exponentul sub forma unei fracții obișnuite și apoi să utilizați definiția unei grade cu un exponent fracțional. Pentru exemplele indicate, avem și.

Grad cu un indicator irațional și valabil

Se știe că setul de numere reale poate fi considerat ca fiind unirea seturilor de numere raționale și iraționale. Prin urmare, o diplomă cu un indicator valid poate fi considerată definită atunci când se determină o gradare cu un indicator rațional și o gradare cu un indicator irațional. Am vorbit despre gradul cu un indicator rațional în paragraful anterior, rămâne să se ocupe de grad cu un indicator irațional.

Conceptul de grad al unui indice irațional va fi abordat treptat.

Fie o secvență de aproximări zecimale ale unui număr irațional. De exemplu, luați un număr irațional, atunci puteți accepta sau, etc. Este demn de remarcat faptul că numerele sunt raționale.

Secvența numerelor raționale corespunde unei secvențe de grade și putem calcula valorile acestor grade pe baza materialului ridicării articolului la un grad rațional. Ca un exemplu, luăm a = 3, și apoi, și după ce ne ridicăm la o putere, obținem.

În cele din urmă, secvența converge la un anumit număr, care este valoarea puterii lui a cu un exponent irațional. Să ne întoarcem la exemplul nostru: o diplomă cu un indicator irațional al formei converge la un număr care este egal cu 6,27 cu o precizie de o sută.

Gradul unui număr pozitiv a cu un indice irațional este o expresie a cărei valoare este egală cu limita secvenței, unde sunt aproximări zecimale consecutive ale numărului irațional.

Gradul numărului zero este determinat pentru indicatorii iraționali pozitivi, cu aceasta. De exemplu,. Și gradul de număr 0 cu un indicator negativ irațional nu este determinat, de exemplu, nu este definit.

Separat, este necesar să se spună despre gradul irațional al unității - unitatea în orice grad irațional este egală cu 1. De exemplu, și.

Rădăcini și grade

gradul de

Gradul este o expresie a formei :, unde:

• - baza gradului;
• - exponent.

Grad cu un indicator natural

Definim conceptul unei grade al cărei indice este un număr natural (adică un întreg și unul pozitiv).

1. Prin definiție :.
2. Pentru a pătrunde un număr este să îl înmulțiți singur:
3. Pentru a construi un număr într-un cub înseamnă să îl înmulțiți singur de trei ori :.

Ridicarea unui număr la gradul natural înseamnă înmulțirea numărului însuși din nou:

Grad cu număr întreg

Dacă exponentul este un număr întreg pozitiv:

, n> 0

Elevație la zero:

, a ≠ 0

Dacă exponentul este un număr întreg negativ:

, a ≠ 0

Notă: expresia nu este definită, în cazul n ≤ 0. Dacă n> 0, atunci

Grad cu un indicator rațional

• a> 0;
• n este un număr natural;
• m este un număr întreg;

Proprietățile de grade

rădăcină

Aritmetică rădăcină pătrată

Ecuația are două soluții: x = 2 și x = -2. Acestea sunt numere ale căror pătrat este de 4.

Luați în considerare ecuația. Să formăm un grafic al funcției și să vedem că această ecuație are de asemenea două soluții, una pozitivă, cealaltă negativă.

Dar, în acest caz, soluțiile nu sunt întregi. În plus, ele nu sunt raționale. Pentru a scrie aceste decizii iraționale, introducem un caracter special rădăcină pătrată.

Radacina pătrată aritmetică este un număr ne-negativ, al cărui pătrat este, a ≥ 0. Când a

Gradul și proprietățile sale. Determinarea gradului

Secțiuni: Matematică

Să familiarizeze studenții cu proprietățile de grade cu indicatori naturali și să învețe cum să realizeze acțiuni cu grade.

Subiectul "Gradul și proprietățile sale" include trei întrebări:

• Determinarea gradului cu un indicator natural.
• Înmulțirea și împărțirea puterilor.
• Creșterea gradului produsului și a gradului.

Formulați o definiție a unei grade cu un indice natural mai mare de 1. Dați un exemplu.

Formulați definiția unei grade cu indicatorul 1. Dați un exemplu.

Care este ordinea acțiunilor atunci când se calculează valoarea unei expresii care conține un grad?

Formulează proprietatea de bază a unui grad. Dați un exemplu.

Formeaza regula de multiplicare a gradelor cu aceleasi baze. Dați un exemplu.

Formeaza regula de divizare a gradelor cu aceleasi baze. Dați un exemplu.

Formați o regulă pentru gradul de muncă. Dați un exemplu. Dovedește identitatea (ab) n = a n • b n.

Formulați o regulă de exponentializare a gradului. Dați un exemplu. Dovedește identitatea (a m) n = a m n.

Gradul a cu un indice natural n mai mare decât 1 este produsul n factorilor, fiecare dintre care este a. Gradul a cu indexul 1 este numărul a însăși.

Gradul cu baza a și indexul n este scris astfel: a n. Citiți "a la puterea lui n"; "Puterea N a unui".

Prin definiție, un grad:

Găsirea unei valori a gradului se numește exponentiație.

1. Exemple de exponentiere:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Imaginați-vă sub forma unui număr pătrat: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Prezent sub forma unui cub:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Găsiți valorile expresiilor:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Scrieți lucrarea ca o diplomă:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Prezentat sub forma unui număr pătrat:

3. Prezent sub forma unui cub:

4. Găsiți valorile expresiilor:

Pentru orice număr a și numere arbitrare m și n:

un m a n = a m + n.

Regula: Când se înmulțește grade cu aceleași baze, bazele sunt lăsate neschimbate, iar exponenții sunt adăugați împreună.

un m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Prezent ca grad:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea din tabel:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Prezent ca grad:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea din tabel:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

Pentru orice număr 0 și mulțimea pozitivă arbitrară m și n, astfel încât m> n este adevărat:

un m: a n = a m - n

un m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

prin definiție privat:

un m: a n = a m - n.

Regula: Atunci când împărțiți grade cu aceleași baze, baza este lăsată la fel, iar gradul divizorului este scăzut de la exponent.

Definiție: Gradul nu este egal cu zero, cu un exponent zero egal cu unul:

Numere. Gradul numărului.

Este binecunoscut faptul că suma mai multor componente egale poate fi găsită prin multiplicare. De exemplu: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. O astfel de expresie este considerată a fi suma componentelor egale transformate într-un produs. Și invers, dacă citim această egalitate de la dreapta la stânga, obținem că am extins suma de termeni egali. În mod similar, se poate prăbuși produsul mai multor factori egali 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Adică, în loc să înmulțească șase factori identici de 5x5x5x5x5x5, ei scriu 5 6 și spun "cinci la gradul al șaselea".

Expresia 5 6 este puterea numărului, unde:

5 - baza gradului;

6 - exponent.

Acțiunile prin care produsul factorilor egali este redus la o putere se numesc exponentiere.

În general, gradul cu baza "a" și indexul "n" este scris ca

Pentru a ridica numărul a la puterea n înseamnă a găsi produsul n factorilor, fiecare dintre care este a

Dacă baza gradului "a" este 1, atunci valoarea gradului pentru orice n natural este 1. De exemplu, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Dacă ridicăm numărul "a" la gradul I, obținem numărul a: a 1 = a

Dacă ridicăm un număr la zero, atunci, ca rezultat al calculelor, obținem unul. a 0 = 1

Se iau în considerare numerele de gradul doi și trei. Pentru ei a venit cu numele: gradul al doilea este numit pătratul numărului, al treilea - cubul acestui număr.

Orice număr poate fi ridicat la putere pozitivă, negativă sau zero. Nu utilizează următoarele reguli:

-prin găsirea gradului unui număr pozitiv, se obține un număr pozitiv.

-când se calculează zero în grade naturale, ajungem la zero.

- la calcularea gradului unui număr negativ, rezultatul poate fi atât un număr pozitiv, cât și un număr negativ. Depinde dacă exponentul este ciudat sau ciudat.

Dacă vom rezolva câteva exemple privind calculul gradului de număr negativ, atunci se va dovedi că dacă vom calcula un grad ciudat de un număr negativ, atunci rezultatul va fi un număr cu un semn minus. Deoarece, înmulțind numărul impar de factori negativi, obținem o valoare negativă.

Dacă se calculează un grad uniform pentru un număr negativ, atunci rezultatul va fi un număr pozitiv. Deoarece, înmulțind un număr par de factori negativi, obținem o valoare pozitivă.

Gradul proprietăților cu un indicator natural.

Pentru a multiplica gradele cu aceleași baze, nu schimbăm bazele și nu adăugăm exponenții gradelor:

de exemplu: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Pentru a separa gradele cu aceleași baze, nu schimbăm baza, ci scade exponenții:

de exemplu: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Când se calculează exponentierea gradului, nu schimbăm baza și înmulțim exponenții gradelor.

de exemplu: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

Dacă este necesar să se calculeze erecția la gradul de produs, atunci fiecare factor este ridicat la acest grad.

de exemplu: (2, 3) 3 = 2 n, 3 m,

Când efectuăm calculele asupra construcției unei fracții, ridicăm numerotatorul și numitorul fracțiunii la această putere.

de exemplu: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Secvența de calcule atunci când se lucrează cu expresii care conțin un grad.

La efectuarea calculelor, expresiile fără paranteze, dar conținând grade, în primul rând efectuează exponentierea, apoi se înmulțește și împarte acțiunile și numai apoi se adaugă și se scot operațiile.

Dacă este necesar să se calculeze o expresie care conține paranteze, mai întâi, în ordinea indicată mai sus, facem calculele în paranteze, apoi acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.

Foarte larg în calculele practice pentru simplificarea calculelor folosiți tabele pregătite de grade.

Explicați cum puteți găsi puterea unui număr

Economisiți timp și nu vedeți anunțuri cu Knowledge Plus

Economisiți timp și nu vedeți anunțuri cu Knowledge Plus

Răspunsul

Răspunsul este dat

19kot

Conectați Knowledge Plus pentru a accesa toate răspunsurile. Rapid, fără publicitate și pauze!

Nu ratați importanța - conectați Knowledge Plus pentru a vedea răspunsul chiar acum.

Urmăriți videoclipul pentru a accesa răspunsul

Oh nu!
Răspunsurile au expirat

Conectați Knowledge Plus pentru a accesa toate răspunsurile. Rapid, fără publicitate și pauze!

Nu ratați importanța - conectați Knowledge Plus pentru a vedea răspunsul chiar acum.

Urmăriți videoclipul pentru a accesa răspunsul

Oh nu!
Răspunsurile au expirat

• Comentarii
• Marcați încălcarea

Răspunsul

Răspunsul este dat

Nadirka212

Cel mai rezonabil lucru este să descompuneți un număr în factori prim, atunci puteți găsi atât baza, cât și exponentul.
Dacă baza este cunoscută, atunci indicatorul poate fi găsit prin logaritmizare, de exemplu,
2 ^ x = 8
Pentru a găsi x, trebuie să numărați ambele părți ale bazei 2
x = log in baza 2 de la 8 = ln 8 / ln 2 (acest lucru poate fi calculat pe calculator) = 3
Dacă indicatorul este cunoscut, baza se găsește prin extragerea rădăcină, de exemplu,
x ^ 3 = 8
extrage rădăcina cubică din ambele părți
x = rădăcina cubică de 8 = 2

Dacă nici unul nu știe unul sau altul, descompun un număr în factori prim, acest lucru se face prin împărțirea succesivă a numărului în factori prim
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 nu este divizibil cu 2, cu 3, cu 5 (iterați succesiv peste numerele prime)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Totalul pe care l-am împărțit de 2 ori de opt ori și de 7 ori de patru ori
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Dacă vrem să găsim o reprezentare în forma a ^ b cu a și b naturală și b trebuie să fie maximă, atunci b trebuie să luăm GCD a gradelor obținute în descompunere în factorii primari, adică în acest caz b = GCD (8.4) = 4
baza bazei a va fi 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Gradul și proprietățile sale. Nivelul inițial.

Gradul este o expresie a formei :, unde:

Grad cu număr întreg

gradul căruia este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Grad cu un indicator rațional

gradul căruia sunt numere negative și fracționare.

Grad cu un exponent irațional

grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietățile de grade

Caracteristicile de grade.

• Un număr negativ ridicat la o putere uniformă este un număr pozitiv.
• Un număr negativ ridicat la o putere ciudată este un număr negativ.
• Un număr pozitiv la orice grad este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice grad.
• Orice număr este zero.

Care este puterea numărului?

Exponentierea este aceeași operație matematică ca adăugarea, scăderea, înmulțirea sau diviziunea.

Acum voi explica totul în limba umană cu exemple foarte simple. Fii atent. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: sunt opt ​​dintre noi. Fiecare are două sticle de cola. Cât de mult este cola? Așa e - 16 sticle.

Înmulțim acum.

Același exemplu cu Coca-Cola poate fi scris diferit :. Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Mai întâi observă câteva modele și apoi vin cu o modalitate de a le "contoriza" rapid. În cazul nostru, au observat că fiecare din opt persoane avea același număr de sticle de cola și a venit cu un dispozitiv numit multiplicare. Recunoaște că este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Aici este tabelul de multiplicare. Se repetă.
Deci, pentru a conta mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți tabelul de înmulțire. Desigur, puteți face totul mai lent, mai dificil și cu erori! Dar...

Aici este tabelul de multiplicare. Se repetă.

Și un alt, mai frumos:

Ce alte trucuri inteligente ale contului au fost inventate de matematicienii leneși? Corect - introducerea numărului în grad.

Ridicarea unui număr la o putere.

Dacă trebuie să multiplicați numărul de cinci ori, matematicienii spun că trebuie să construiți acest număr până la gradul cinci. De exemplu,. Matematicienii amintesc că doi la al cincilea sunt acest lucru. Și rezolvați astfel de puzzle-uri - mai repede, mai ușor și fără erori.

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă doar ce este evidențiat în culoare în tabelul de grade de numere. Crede-mă, asta îți va face viața mai ușoară.

Apropo, de ce este gradul al doilea numit pătratul unui număr, iar al treilea - cubul? Ce înseamnă asta? Foarte bună întrebare. Acum veți avea pătrate și cuburi.

Un exemplu din viața lui №1.

Să începem cu un număr de pătrat sau un al doilea grad.

Imaginați-vă o piscină pătratică măsurând contoarele de metri. Piscina este în dacha ta. Încălziți și chiar doriți să înotați. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să se plaseze fundul plăcilor de piscină. De câte dale ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să știți zona de jos a bazinului.

Puteți să numărați pur și simplu, prindeți degetul, că fundul bazinului este format din cuburi de metri pe metru. Dacă aveți un contor de metru pe metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Țigle va fi mai probabil să vadă cm și apoi veți fi chinuit de "deget". Apoi trebuie să se înmulțească. Deci, pe o parte a fundului bazinului, se vor potrivi gresie (bucati), iar pe de alta, placi. Înmulțind cu, obțineți dale ().

Ați observat că pentru a determina zona fundului bazinului, am înmulțit același număr de la sine? Ce înseamnă asta? Odată ce se înmulțește același număr, putem folosi tehnica "exponentiere". (Desigur, atunci când aveți doar două numere, le multiplicați în continuare sau le ridicați la putere, dar dacă aveți multe dintre ele, atunci ridicarea acestora la o putere este mult mai simplă, iar erorile de calcul sunt, de asemenea, mai mici.
Deci, treizeci la gradul al doilea vor fi (). Sau puteți spune că vor fi treizeci de pătraturi. Cu alte cuvinte, al doilea grad al unui număr poate fi întotdeauna reprezentat ca un pătrat. În schimb, dacă vedeți un pătrat, este întotdeauna a doua putere a unui anumit număr. Un pătrat este o imagine de gradul al doilea al unui număr.

Un exemplu din viața lui №2.

Iată o sarcină pentru dvs., calculați câte pătrunde pe o tablă de șah cu ajutorul unui pătrat de un număr. Pe o parte a celulelor și pe cealaltă parte. Pentru a calcula numărul lor, aveți nevoie de opt ori opt sau... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți construi opt pătrate. Ia o celulă. () Deci?

Un exemplu din viața numărului 3.

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să știți cât de multă apă trebuie să vărsați în acest bazin. Trebuie să calculați volumul. În mod neașteptat, nu-i așa?) Desenați un bazin: fundul are un metru înălțime și un metru adânc și încercați să calculați câte cuburi în metri pe metru vor intra în piscina dvs.

Doar îndreptați degetul și numărați! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât sa întâmplat? Nu plec Este greu să numeri cu degetul? Asta este! Luați exemplul matematicienilor. Ei sunt leneși, așa că au observat că pentru a calcula volumul bazinului, este necesar să se înmulțească reciproc lungimea, lățimea și înălțimea acestuia. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburile... Este mai ușor, nu?

Și acum imaginați-vă cum matematicienii sunt leneși și vicleni, dacă și ei l-au simplificat. A adus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr înmulțit de el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că puteți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numit odată ca un deget, fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egale. Este scris astfel :.

Ramane doar sa ne amintim tabelul de grade. Dacă, desigur, sunteți la fel de leneși și vicioși ca matematicienii. Dacă vă place să lucrați din greu și să faceți greșeli, puteți continua să numărați cu degetul.

Ei bine, pentru a vă convinge în cele din urmă că gradele au fost inventate de quitters și amăgitori pentru rezolvarea problemelor lor de viață, și nu pentru a crea probleme pentru tine, iată câteva exemple din viață.

Un exemplu din viața lui №4.

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi câte un milion de milioane. Adică, fiecare din milioane de euro de la începutul fiecărui an este dublat. Câți bani veți avea de-a lungul anilor? Dacă stați și "numărați un deget", atunci sunteți o persoană foarte harnică și... proastă. Dar cel mai probabil veți da un răspuns în câteva secunde, pentru că sunteți inteligenți! Deci, în primul an - de două ori două... în al doilea an - ce sa întâmplat, cu încă două, în al treilea an... Stop! Ați observat că numărul se înmulțește o singură dată. Deci, doi la gradul al cincilea - un milion! Acum, imaginați-vă că aveți o competiție și cei care primesc milioane vor fi mai rapizi să calculeze... Merită să vă amintiți gradele cifrelor, cum credeți?

Un exemplu din numărul 5 de viață.

Ai un milion. La începutul fiecărui an câștigați la fiecare doi milioane mai mult. Wow, într-adevăr? Fiecare milion de triple. Câți bani veți avea într-un an? Să numărăm. Primul an este să se înmulțească, apoi rezultatul este încă... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: de trei ori se înmulțește de la sine. Astfel, în al patrulea grad este egal cu un milion. Trebuie să-ți amintești că trei până la al patrulea grad este sau.

Acum știți că, cu ajutorul ridicării unui număr la o putere, vă veți facilita foarte mult viața. Să ne uităm mai departe la ceea ce puteți face cu gradele și ce trebuie să știți despre ele.

Termeni și concepte.

Deci, să începem prin definirea conceptelor. Ce credeți că este exponentul? Este foarte simplu - acesta este numărul care este "în partea de sus" a puterii numărului. Nu științifică, dar ușor de înțeles și ușor de reținut...

Deci, în același timp, care este baza gradului? Chiar mai simplu este numărul din partea de jos, în partea de jos.

Iată o imagine pentru loialitatea ta.

Ei bine, în general, să rezumăm și să ne amintim mai bine... Gradul cu baza " și indicatorul " este citit ca "la grad" și este scris după cum urmează:

În plus, de ce să spunem "gradul de numere cu un indicator natural"?

"Gradul de numere cu un indicator natural"

Probabil ați ghicit deja: deoarece exponentul este un număr natural. Da, dar ce este un număr natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele folosite în cont atunci când listați articolele: una, două, trei... Când numărăm articole, nu spunem: "minus cinci", "minus șase", "minus șapte". De asemenea, nu spunem: "o treime" sau "zero punct, cinci zecimi". Acestea nu sunt numere naturale. Și care sunt numerele așa cum credeți?

Numere precum "minus cinci", "minus șase", "minus șapte" se referă la numere întregi. În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică, luate cu un semn minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numărul negativ ("negativ")? Dar au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: dacă aveți un echilibru la telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați rublele operatorului.

Fracțiunile de orice fel sunt numere raționale. Cum au venit, ce crezi? Foarte simplu. Mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, zona etc. Și au venit cu numere raționale... Interesant, nu?

Mai există numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, zecimal infinit. De exemplu, dacă circumferința este împărțită prin diametrul acesteia, atunci se obține un număr irațional.

Rezumând:

• Numerele naturale sunt numerele folosite la numărare, adică etc.
• Integer - toate numerele naturale, numere naturale cu minus și numărul 0.
• Numerele fracționate sunt considerate raționale.
• Numerele iraționale sunt zecimale infinite

Grad cu un indicator natural

Să definim noțiunea de grad al cărui indice este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr din primul grad este egal cu el însuși:
2. Pentru a pătrunde un număr este să îl înmulțiți singur:
3. A construi un număr într-un cub înseamnă să îl înmulțiți singur de trei ori:

Definiția. Ridicarea unui număr la gradul natural înseamnă înmulțirea numărului însuși din nou:
.

Gradul numărului: definiții, desemnări, exemple

În cadrul acestui material, analizăm gradul numărului. În plus față de definițiile de bază, vom formula ceea ce este o diplomă cu indicatori naturali, intregi, raționali și iraționali. Ca întotdeauna, toate conceptele vor fi ilustrate cu exemple de sarcini.

Gradele cu exponenți naturali: conceptul unui pătrat și al unui cub al unui număr

În primul rând, formulăm o definiție de bază a unei diplome cu un indice natural. Pentru aceasta trebuie să reamintim regulile de bază ale multiplicării. Să clarificăm în prealabil că, ca bază, vom lua pentru moment un număr real (indicat prin litera a) și, ca indicator, un număr natural (notat cu litera n).

Gradul a cu un indice natural n este produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare fiind egal cu numărul a. Gradul este scris astfel: a n, și sub forma unei formule, compoziția sa poate fi reprezentată după cum urmează:

De exemplu, dacă exponentul este 1 și baza este a, atunci prima putere a este scrisă ca 1. Considerând că a este valoarea unui multiplicator, iar 1 este numărul multiplicatorilor, putem concluziona că a 1 = a.

În general, se poate spune că gradul este o formă convenabilă de înregistrare a unui număr mare de factori egali. Astfel, tipul înregistrării 8 · 8 · 8 · 8 poate fi redus la 8 4. Aproximativ aceeași lucrare ne ajută să evităm scrierea unui număr mare de termeni (8 + 8 + 8 + 8 = 8,4); am analizat deja acest lucru în articolul dedicat multiplicării numerelor naturale.

Cum de citit înregistrarea gradului? Opțiunea general acceptată este "a la puterea lui n". Sau puteți spune "gradul n-a" sau "un grad n-a." Dacă, de exemplu, în exemplul pe care l-am întâlnit recordul 8 12, putem citi "8 la gradul 12", "8 la gradul 12" sau "gradul 12 la cel de-al 8-lea".

Numerele de gradul al doilea și al treilea au numele lor bine stabilite: pătrat și cub. Dacă vedem un al doilea grad, de exemplu, numărul 7 (7 2), atunci putem spune "7 pătrat" ​​sau "pătrat al numărului 7". În mod similar, gradul al treilea citește astfel: 5 3 este "cubul numărului 5" sau "5 în cub". Cu toate acestea, este posibil să se utilizeze și formularea standard "în gradul al doilea / al treilea", nu va fi o greșeală.

Să examinăm un exemplu de grad cu un indicator natural: pentru 5 7, cele cinci vor fi baza, iar cele șapte - indicatorul.

Baza nu trebuie să fie un număr întreg: pentru gradul (4, 32) 9 baza va fi o fracțiune de 4, 32, iar indicatorul va fi de nouă. Acordați atenție parantezelor: o astfel de intrare se face pentru toate gradele ale căror baze sunt diferite de numerele naturale.

De exemplu: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Pentru ce sunt parantezele? Ele ajută la evitarea greșelilor în calcule. Să presupunem că avem două intrări: (- 2) 3 și - 2 3. Primul dintre acestea înseamnă un număr negativ minus doi, ridicat la o putere cu un indice natural de trei; al doilea este numărul corespunzător valorii opuse a gradului 2 3.

Uneori în cărți se poate întâlni o difuzare puțin diferită a puterii unui număr - a ^ n (unde a este baza și n este indicatorul). Asta este, 4 ^ 9 este la fel ca 4 9. Dacă n este un număr multival, este luat în paranteze. De exemplu, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Dar vom folosi notația ca mai comună.

Cum se calculează valoarea unei grade cu un indice natural este ușor de ghicit din definiția sa: trebuie doar să multiplicați n un număr de ori. Mai multe despre acest lucru, am scris într-un alt articol.

Conceptul de grad este opusul unui alt concept matematic - rădăcina unui număr. Dacă cunoaștem valoarea gradului și exponentul, putem calcula baza sa. Gradul are anumite proprietăți specifice care sunt utile pentru rezolvarea problemelor pe care le-am dezasamblat într-un material separat.

Ce este o diplomă cu un indicator întreg

În termeni de grade, pot exista nu numai numere naturale, ci, în general, orice valori întregi, inclusiv cele negative și zerouri, deoarece ele aparțin și setului de numere întregi.

Gradul unui număr cu un număr întreg pozitiv poate fi afișat ca o formulă :.

Mai mult, n este orice număr întreg pozitiv.

Vom înțelege conceptul de grad zero. Pentru a face acest lucru, folosim o abordare care ia în considerare proprietatea particularului pentru puteri cu baze egale. Acesta este formulat după cum urmează:

Egalitatea a m: a n = a m - n este adevărată în condițiile: m și n sunt numere naturale, m n, a ≠ 0.

Ultima condiție este importantă pentru că evită divizarea cu zero. Dacă valorile m și n sunt egale, obținem următorul rezultat: a n: a n = a n - n = a 0

Dar, în același timp, un n: a n = 1 este coeficientul numărului egal a n și a. Se pare că puterea zero a unui număr diferit de zero este unul.

Cu toate acestea, această dovadă nu se aplică la zero până la zero. Pentru aceasta avem nevoie de o altă proprietate de grade - o proprietate a produselor de grade cu baze egale. Se pare că: a m · a n = a m + n.

Dacă n este 0, atunci un m · a 0 = a m (această egalitate ne dovedește de asemenea că 0 = 1). Dar dacă și este zero, egalitatea noastră ia forma 0 m · 0 0 = 0 m. Aceasta va fi valabilă pentru orice valoare naturală a lui n și nu contează care este valoarea gradului 0 0, adică poate fi egală cu orice număr și nu va afecta loialitatea egalității. Prin urmare, o înregistrare a formularului 0 0 nu are propriul său înțeles special și nu îi vom atribui.

Dacă se dorește, este ușor să se verifice dacă 0 = 1 converge cu proprietatea gradului (a m) n = a m · n, cu condiția ca baza gradului să nu fie zero. Astfel, gradul oricărui număr non-zero cu exponent zero este unul.

Să examinăm un exemplu cu numere concrete: Deci, 5 0 este o unitate, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, iar valoarea 0 0 nu este definită.

După gradul zero rămâne să ne dăm seama care este gradul negativ. Pentru aceasta avem nevoie de aceeași proprietate a produsului de grade cu baze egale, pe care le-am folosit deja mai sus: a m · a n = a m + n.

Introducem condiția: m = - n, atunci a nu trebuie să fie zero. Din aceasta rezultă că a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Se pare că un n și un - n sunt numere inverse reciproce.

Drept rezultat, un grad negativ întreg nu este altul decât fracțiunea 1 a n.

O astfel de formulare confirmă faptul că pentru o anumită măsură cu un indice negativ întreg toate aceleași proprietăți ca și un grad cu un indice natural (cu condiția ca baza să nu fie zero) sunt valide.

Gradul a cu un număr întreg negativ n poate fi reprezentat ca o fracție 1 a n. Astfel, a - n = 1 a n în condiția a ≠ 0 și n este orice număr întreg pozitiv.

Explicăm gândirea noastră cu exemple concrete:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4 2) - 5 = 1 (- 4 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

În ultima parte a paragrafului, vom încerca să descriem tot ceea ce sa spus în mod clar într-o formulă:

Gradul a cu un indice natural z este: az = az, e cu l și z este întregul lui l și z este 0 și z = 0 și a ≠ 0, (p p p și z = 0 și a = 0 p o l o u c e s i 0 0, adică a v o r a c io 0 0 n e O p e f eld i i i) 1 az, e s c și z este o celulă c t a t a n a o a a a o a ≠ 0 ( e sl și z - este întregul seriei și a = 0 fără sfârșit cu i 0 z, ego despre N ote o p o d ia c e s i i)

Ce este un exponent rațional?

Ne-am ocupat de cazurile în care un număr întreg este în exponent. Cu toate acestea, este posibil să se ridice un număr la o putere chiar și atunci când un număr fracționat este în indexul său. Acesta este numit exponent rațional. În acest moment, dovedim că are aceleași proprietăți ca și alte grade.

Care sunt numerele raționale? Setul lor include numere întregi și fracționare, în timp ce numerele fracționate pot fi reprezentate ca fracții obișnuite (atât pozitive, cât și negative). Formăm definiția gradului a cu un exponent fracțional m / n, unde n este un număr întreg pozitiv și m este un număr întreg.

Avem o anumită gradare cu un exponent fracțional a m n. Pentru ca proprietatea gradului să fie deținută, egalitatea a n n = a m n · n = a m trebuie să fie adevărată.

Având în vedere definiția rădăcinii gradului n și faptul că un n n = a m, putem accepta condiția a n n = a m n dacă m n are sens la valorile date de m, n și a.

Proprietățile de mai sus ale gradului cu un număr întreg vor fi adevărate sub condiția a n n = a m n.

Concluzia principală a raționamentului nostru este următoarea: gradul unui anumit număr a cu un indice fracționat m / n este rădăcina celui de-al n-lea grad de la a la m. Acest lucru este adevărat dacă, pentru valori date de m, n și a, expresia a m n își menține semnificația.

Apoi, trebuie să determinăm ce fel de restricții asupra valorilor variabilelor impune o astfel de condiție. Există două abordări pentru a rezolva această problemă.

1. Putem limita valoarea bazei gradului: vom lua a, care pentru valori pozitive de m va fi mai mare sau egal cu 0, iar pentru valori negative, strict mai mic (deoarece pentru m ≤ 0 ajungem 0 m, iar acest grad nu este definit). În acest caz, determinarea gradului cu un indice fracționat va fi după cum urmează:

O diplomă cu un exponent fracțional m / n pentru un număr pozitiv a este a n-a rădăcină a unui crescut la puterea lui m. Sub forma unei formule, aceasta poate fi reprezentată ca:

Pentru un grad cu o bază zero, această poziție este de asemenea potrivită, dar numai dacă indicele său este un număr pozitiv.

Un grad cu o bază zero și un m / n pozitiv fracțional poate fi exprimat ca

0 m n = 0 m n = 0 în condiția unui întreg pozitiv m și a unui n natural.

Cu un raport negativ m n 0, gradul nu este determinat, adică un astfel de record nu are sens.

Observați un punct. Deoarece am introdus condiția ca a este mai mare sau egală cu zero, am renunțat la unele cazuri.

Expresia a m uneori are încă sens pentru unele valori negative ale lui a și ale m. Deci, intrările (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 sunt corecte, în care baza este negativă.

2. A doua abordare este de a lua în considerare separat rădăcina a m n cu indici par i ciudați. Apoi, va trebui să introducem o condiție suplimentară: gradul a, în indicele căruia fracțiunea redusă este în valoare, este considerată gradul de a, în indicele căruia este fracțiunea ireductibilă corespunzătoare acesteia. Mai târziu, vom explica de ce această condiție este pentru noi și de ce este atât de importantă. Astfel, dacă avem recordul m k n · k, putem reduce la m n și simplifica calculele.

Dacă n este un număr impar și m este pozitiv, a este orice număr non-negativ, atunci un nn are sens. Starea non-negativă a este necesară, deoarece rădăcina unei puteri uniforme nu este extrasă dintr-un număr negativ. Dacă valoarea lui m este pozitivă, atunci a poate fi atât negativă, cât și zero, deoarece Odată rădăcină gradul poate fi extras din orice număr real.

Combinați toate datele de mai sus cu definițiile într-o singură înregistrare:

Aici m / n înseamnă o fracție ireductibilă, m este orice număr întreg și n este orice număr întreg pozitiv.

Pentru orice fracție redusă obișnuită m · k n · k, gradul poate fi înlocuit cu un m n.

Gradul numărului a cu un indice fracțional ireductibil m / n poate fi exprimat ca m n în următoarele cazuri: - pentru orice valori reale a întregului pozitiv ale valorilor m și n naturale impare ale lui n. Exemplu: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- pentru orice valoare reală nonzero a, valori negative întregi ale valorilor m și impare ale n, de exemplu, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1)

- pentru orice non-negative a, valori pozitive întregi de m și chiar n, de exemplu, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- pentru orice pozitiv a, întregul negativ m și chiar n, de exemplu, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3.

În cazul altor valori, gradul cu exponent fracțional nu este definit. Exemple de astfel de grade: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Acum, să explicăm importanța condiției menționate mai sus: de ce să înlocuiți o fracție cu un indice redus cu o fracțiune cu o fracție ireductibilă. Dacă nu vom face acest lucru, atunci vom avea astfel de situații, să spunem, 6/10 = 3/5. Apoi ar trebui să fie adevărat (- 1) 6 10 = - 1 3 5, dar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 și (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Determinarea gradului cu un indice fractional, pe care am citat-o ​​mai întâi, este mult mai convenabil de pus în practică decât cel de-al doilea, de aceea îl vom folosi în continuare.

Astfel, gradul unui număr pozitiv a cu un indice fracțional m / n este definit ca 0 m n = 0 m n = 0. În cazul negativului a, intrarea a n nu are sens. Gradul zero pentru indicatorii fracționali pozitivi m / n este definit ca 0 m n = 0 m n = 0, pentru indicatorii fracționali negativi nu definim gradul de zero.

În concluzie, observăm că putem scrie orice indice fracționat atât sub forma unui număr mixt cât și sub forma unei fracții zecimale: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

La calcul, este mai bine să înlocuiți exponentul cu o fracție obișnuită și apoi să utilizați definiția exponentului cu un exponent fracțional. Pentru exemplele de mai sus, primim:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Ce este o diplomă cu un indicator irațional și valabil

Care sunt numerele reale? Setul lor include atât numere raționale cât și iraționale. Prin urmare, pentru a înțelege ce este un grad cu un indicator valid, trebuie să definim grade cu indicatori raționali și iraționali. Despre rațional, am menționat deja mai sus. Ne vom ocupa pas cu pas de indicatorii iraționali.

Să presupunem că avem un număr irațional a și o succesiune de aproximări zecimale a 0, a 1, a 2,.... De exemplu, luați valoarea a = 1, 67175331... atunci

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., o 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

și așa mai departe (cu aproximările în sine fiind numere raționale).

Secvențele de aproximări pot asocia o secvență de grade a a 0, a a 1, a a 2,.... Dacă ne amintim că ne-am spus mai devreme despre creșterea numărului la un nivel rațional, atunci putem calcula valorile acestor grade noi înșine.

Luați, de exemplu, a = 3, apoi a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753... și așa mai departe

Secvența de grade poate fi redusă la un număr, care va fi valoarea gradului c cu baza a și indicele irațional a. În rezumat: o diplomă cu un indice irațional al formularului 3 1, 67175331.. poate fi redus la numărul de 6, 27.

Gradul unui număr pozitiv a cu un exponent irațional a este scris ca a. Valoarea sa este limita secvenței a a 0, a a 1, a a 2,... unde 0, a 1, a 2,.. sunt aproximări zecimale consecutive ale numărului irațional a. De asemenea, se poate defini un grad de bază zero pentru indicatorii iraționali pozitivi, cu 0 a = 0 Astfel, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Și pentru cele negative, acest lucru nu se poate face, deoarece, de exemplu, valoarea 0 - 5, 0 - 2 π este nedefinită. O unitate ridicată la orice grad irațional rămâne o unitate, de exemplu, iar 1 2, 1 5 la 2 și 1 - 5 vor fi egale cu 1.